傅立叶函数（傅里叶级数展开公式）

本篇文章给大家谈谈傅立叶函数，傅立以及傅里叶级数展开公式对应的叶函知识点，希望对各位有所帮助，数傅不要忘了收藏本站喔。展开

傅里叶级数有什么用啊？

傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的傅立应用。

法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的叶函边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的数傅发展。

在中国，展开程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。公式

他首先证明多元三角级数球形和的傅立唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的叶函里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。

扩展资料：

收敛性

傅里叶级数的数傅收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，展开x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，公式x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

参考资料：百度百科-傅里叶级数

傅里叶级数一般公式

傅里叶级数一般公式是f（t）=A0+∑Ansin（nωt+Φn），法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）。

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

到底神马是傅里叶级数

傅里叶级数：

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

什么是傅里叶级数？

傅里叶级数

Fourier series

一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

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傅里叶级数的公式

给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

mathx(t)=\sum _{ k=-\infty}^{ +\infty}a_k\cdot e^{ jk(\frac{ 2\pi})t}/math（j为虚数单位）（1）

其中，matha_k/math可以按下式计算：

matha_k=\frac\int_x(t)\cdot e^{ -jk(\frac{ 2\pi})t}/math（2）

注意到mathf_k(t)=e^{ jk(\frac{ 2\pi})t}/math是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，mathk=\pm 1/math时具有基波频率math\omega_0=\frac{ 2\pi}/math，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；

在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

三角函数族的正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

math\int _^{ 2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;/math

math\int _^{ 2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math

math\int _^{ 2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math

math\int _^{ 2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;/math

math\int _^{ 2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;/math

奇函数和偶函数

奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数，而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数：

mathf_o(x) = \sum _{ -\infty}^{ +\infty}b_k \sin(kx);/math

mathf_e(x) = \frac+\sum _{ -\infty}^{ +\infty}a_k\cos(kx);/math 只要注意到欧拉公式: mathe^{ j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta/math，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数

任何正交函数系math\{ \phi(x)\}/math，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：

math\int _^f^2(x)\,dx=\sum _{ k=1}^{ \infty}c^_/math (4)，

那么级数math\sum _{ k=1}^{ \infty} c_k\phi _k(x)/math (5) 必然收敛于f(x)，其中:

mathc_n=\int _^f(x)\phi_n(x)\,dx/math (6)。

事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：

math\int _^f^2(x)\,dx \ge \sum _{ k=1}^{ \infty}c^_/math成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基math\{ e_i\}^_{ i=1}/math，向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math 。

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